第24课｜取石子游戏的必胜策略

第四单元｜条件与推理

学习分类、如果那么、真假判断、排程、路径与策略，让结论能够被证据支持。

本节问题

桌上有10颗石子，两个人轮流拿，每次只能拿1颗或2颗，拿到最后一颗的人赢。你先拿，怎样才能保证自己赢？

这节课不先背公式，而是先从真实选择开始：我们需要知道什么、怎样表示、用什么方法检查，最后再把方法说清楚。

教学目标

区分随机尝试与可重复策略
从终局倒推安全位置
用不变量解释策略为何有效

课前准备

20枚棋子，多组石子，记录表。

从生活情境进入

桌上有10枚石子，两人轮流取1或2枚，取到最后一枚者获胜。先手怎样保证赢？

先让学生独立估计、画图或记录条件，再进入小组讨论。教师暂时不公布算法，让学生先说明自己看见了什么、缺少什么，以及答案必须满足哪些限制。

分层任务

8岁基础任务

从最后倒推：剩3枚交给对手，无论取1或2，都能取完。

学生需要把操作、图示和算式对应起来，并用完整句说明答案在生活情境中表示什么。

11岁进阶任务

推广到每次取1至k枚时的策略，说明目标是每轮双方合计取k+1枚。

除了得到结果，还要写出至少一个假设、一种检查方法或一个反例。

数学原理怎样长出来

板书可以分为四栏：情境与条件、学生表示、算式与关系、检验与结论。推荐按下面的顺序，从学生的方法中提炼规律：

安全交给对手的位置：3，6，9……
若对手取1，我取2；对手取2，我取1
每轮合计取3枚
10先取1，留下9，再保持合计3

推导完成后，再逐项解释每个数和符号在原情境中代表什么。如果学生不能把算式翻译回生活语言，说明理解还没有闭环。

教师怎样追问

赢一次说明有策略吗？

学生可能回答： 不一定，可能运气好或对手失误。

继续追问： 怎样测试策略稳定？

为什么要留下3的倍数？

学生可能回答： 能让双方每轮合计取3。

继续追问： 从6枚怎样保证回到3枚？

若开局有11枚先手怎么办？

学生可能回答： 先取2留下9。

继续追问： 开局12枚先手还能保证吗？

常见误区与应对

只记自己取多少不记剩余

记录表增加回合后剩余列。

把对手假设成会失误

策略必须覆盖对手所有合法选择。

用少量胜局当证明

用两种对手选择逐一说明。

课堂练习与参考答案

基础练习

剩3枚轮到对手，对手取1，你取几枚？

参考答案： 2枚
对手取2，为保持合计3你取几枚？

参考答案： 1枚
10枚开局先取几枚留下9？

参考答案： 1枚

进阶练习

每次取1至3枚，安全位置是哪些数的倍数？

参考答案： 4的倍数
有14枚，每次取1至3枚，先手第一步取几枚可留12？

参考答案： 2枚
本课规则下开局12枚轮到先手，若双方最优谁有利？

参考答案： 后手有利；12是3的倍数

课后生活实践

和家人玩三轮，第一轮随意，后两轮使用策略；记录是否按策略执行而不仅记录输赢。

下次课用一张记录纸说明：做了什么、得到了什么数据、怎样检查，以及现实中还存在哪些限制。

达标标准

8岁学生能执行互补到3的策略
11岁学生能推广到互补到k+1
解释覆盖对手全部选择
能用“因为……所以……”说明结论，并完成至少一种反向检查或合理性检查。

本课真正要带走的能力

不是记住一条孤立的公式，而是能从生活问题中找出条件，选择合适的表示与方法，得到结果后再回到现实中检查它是否合理。