第23课｜怎样走得最省 · 云非的进化论

第四单元｜条件与推理

学习分类、如果那么、真假判断、排程、路径与策略，让结论能够被证据支持。

本节问题

从起点到终点有好几条路，每一段路的长度都不一样。哪条路线最短？如果其中一条路封了，应该改走哪条？

这节课不先背公式，而是先从真实选择开始：我们需要知道什么、怎样表示、用什么方法检查，最后再把方法说清楚。

教学目标

把地点抽象为节点、道路抽象为边
累加路径权重并比较
理解局部最短不保证整体最短

课前准备

路线网络图，彩笔，路径记录表。

从生活情境进入

从家到学校可经公园或商店。每一段都有距离，最近的第一段一定通向最短总路吗？

先让学生独立估计、画图或记录条件，再进入小组讨论。教师暂时不公布算法，让学生先说明自己看见了什么、缺少什么，以及答案必须满足哪些限制。

分层任务

8岁基础任务

列出不重复绕圈的主要候选路径，逐段相加。

学生需要把操作、图示和算式对应起来，并用完整句说明答案在生活情境中表示什么。

11岁进阶任务

用从起点逐步更新到各节点最短已知距离的方法，体验简化版Dijkstra思想。

除了得到结果，还要写出至少一个假设、一种检查方法或一个反例。

数学原理怎样长出来

板书可以分为四栏：情境与条件、学生表示、算式与关系、检验与结论。推荐按下面的顺序，从学生的方法中提炼规律：

节点表示地点，边表示可走的连接
路径长度＝所经过边权之和
比较的是总和，不是单段
条件变化后必须重新检查可行路径

推导完成后，再逐项解释每个数和符号在原情境中代表什么。如果学生不能把算式翻译回生活语言，说明理解还没有闭环。

教师怎样追问

先走最短的一段为何可能失败？

学生可能回答： 后面可能接很长的路。

继续追问： 画一个反例。

绕圈能更短吗？

学生可能回答： 边长都为正时绕圈只会增加长度。

继续追问： 因此可以排除什么路径？

最短路线是否唯一？

学生可能回答： 可能有两条同长。

继续追问： 若同长还可比较什么？

常见误区与应对

只比较边数

边长不同时必须加权。

贪心选择眼前最短

要求计算完整路径。

漏掉道路方向或封闭

走每条边前检查可通行条件。

课堂练习与参考答案

基础练习

路径三段2、5、3，总长？

参考答案： 10
A路8，B路11，哪条短？

参考答案： A
道路封闭后原路径还能选吗？

参考答案： 不能

进阶练习

路径甲3+7+2，乙5+4+2，哪条短？

参考答案： 乙，11比12短
两条路都10千米，一条3个红灯另一条1个，距离最短解有几个？

参考答案： 2个；若考虑时间可再比较
所有边权为正，含一个回路的路径可能是唯一最短路吗？

参考答案： 不可能；去掉回路会更短

课后生活实践

画一个包含至少5个地点的路线网络，给每条边标长度，请家人找最短路并核对。

下次课用一张记录纸说明：做了什么、得到了什么数据、怎样检查，以及现实中还存在哪些限制。

达标标准

8岁学生能正确累加两至三段路径
11岁学生能系统比较候选并解释局部与整体
路线满足通行条件且总长复核无误
能用“因为……所以……”说明结论，并完成至少一种反向检查或合理性检查。

本课真正要带走的能力

不是记住一条孤立的公式，而是能从生活问题中找出条件，选择合适的表示与方法，得到结果后再回到现实中检查它是否合理。