第29课｜抽签公平吗

第五单元｜数据与概率

经历收集、整理、表示、比较和质疑数据的完整过程，并用实验理解可能性和风险。

本节问题

袋子里有2个红球和1个蓝球。每次摸1个球，记下颜色后再放回去，一共摸30次。红球一定会刚好出现20次吗？

这节课不先背公式，而是先从真实选择开始：我们需要知道什么、怎样表示、用什么方法检查，最后再把方法说清楚。

教学目标

• 判断简单随机装置中结果是否等可能
• 用有利结果数除以全部等可能结果数
• 比较理论概率与实验频率

课前准备

彩球袋，硬币，记录表。

从生活情境进入

袋中2红1蓝，闭眼摸一球。红蓝机会一样吗？怎样修改才一样？

先让学生独立估计、画图或记录条件，再进入小组讨论。教师暂时不公布算法，让学生先说明自己看见了什么、缺少什么，以及答案必须满足哪些限制。

分层任务

8岁基础任务

全部等可能球共3个，有利的红球2个，所以概率2/3。

学生需要把操作、图示和算式对应起来，并用完整句说明答案在生活情境中表示什么。

11岁进阶任务

比较放回与不放回试验，解释第二次概率为何随第一次结果改变。

除了得到结果，还要写出至少一个假设、一种检查方法或一个反例。

数学原理怎样长出来

板书可以分为四栏：情境与条件、学生表示、算式与关系、检验与结论。推荐按下面的顺序，从学生的方法中提炼规律：

• 概率＝有利的等可能结果数÷全部等可能结果数
• P(红)＝2/3
• 实验频率＝红色出现次数÷试验总次数
• 次数增多时频率通常更接近理论概率，但不会保证完全相等

推导完成后，再逐项解释每个数和符号在原情境中代表什么。如果学生不能把算式翻译回生活语言，说明理解还没有闭环。

教师怎样追问

只有红蓝两种颜色，机会就各一半吗？

学生可能回答： 不一定，还要看每种球数量。

继续追问： 什么情况下才各一半？

30次红球正好20次吗？

学生可能回答： 不一定，随机有波动。

继续追问： 出现18次是否推翻2/3？

不放回后为什么要重算？

学生可能回答： 袋中总数和颜色数变了。

继续追问： 第一次摸到红后第二次红概率多少？

常见误区与应对

按结果类别数平均分概率

回到等可能基本结果数量。

把概率当必然次数

重复试验观察波动。

混淆放回与不放回

每轮画袋中剩余组成。

课堂练习与参考答案

基础练习

1. 1红1蓝，摸红概率？

   参考答案： 1/2

2. 3红1蓝，摸蓝概率？

   参考答案： 1/4

3. 20次出现红12次，红频率？

   参考答案： 12/20=0.6

进阶练习

1. 2红1蓝不放回，先摸红后再摸红概率？

   参考答案： 1/2

2. 公平六面骰掷出偶数概率？

   参考答案： 3/6=1/2

3. 概率1/4的事件做40次一定发生10次吗？

   参考答案： 不一定，10次是期望附近而非保证

课后生活实践

抛硬币40次，分四组每10次记录正面频率，观察累计频率怎样变化。

下次课用一张记录纸说明：做了什么、得到了什么数据、怎样检查，以及现实中还存在哪些限制。

达标标准

• 8岁学生能用数量判断机会大小
• 11岁学生能计算简单概率并解释频率波动
• 实验记录总次数和各结果次数相符
• 能用“因为……所以……”说明结论，并完成至少一种反向检查或合理性检查。

本课真正要带走的能力

不是记住一条孤立的公式，而是能从生活问题中找出条件，选择合适的表示与方法，得到结果后再回到现实中检查它是否合理。